Capítulo X

Representación gráfica de la cuantificación
Proposiciones categóricas

Claudio Gutiérrez

65. Fórmulas de cuantificación

Al final del capítulo anterior señalábamos la estrecha relación que hay entre la cuantificación universal y la proposición conjuntiva; y entre la cuantificación existencial y la proposición disyuntiva. Con base en esa relación decidimos ahora representar la cuantificación universal con el mismo signo de la conjunción y la cuantificación existencial con el mismo signo de la disyunción. Así, "de todo x se dice que x es bueno" será ""; y "existe al menos un x tal que x es bueno" será por su parte "". Con esto nos aseguramos de que las cuasi-proposiciones cuantificadas universalmente sean tratadas como verdades fuertes, de la misma manera que las partes de una conjunción; y de que las cuasi-proposiciones cuantificadas existencialmente sean tratadas como verdades débiles, de la misma manera que las partes de una disyunción.

Surge de inmediato la siguiente cuestión: en la conjunción "" o en la disyunción "" la "W" es una proposición atómica, la "U" también. En las fórmulas "" y "", por otra parte, sabemos que "( Wx )" es una cuasi-proposición atómica (llegará a ser una proposición al colocarse bajo la influencia del cuantificador). Pero, ¿qué es entonces "( x )"? Precisamente el signo de cuantificación. Por sí mismo no representa nada, pero al quedar dentro de la llave de conjunción precediendo a una cuasi-proposición convierte al todo en una proposición universal. Algo parecido sucede si aparece como primer miembro dentro de la llave de disyunción, pero en este caso convierte a la cuasi-proposición en una proposición existencial. Así pues, la llave de conjunción con el signo "( x )" como primer miembro, "", representa el cuantificador universal que se lee: "para todo x se dice que"; de modo semejante, la llave de disyunción con el signo "( x )" como primer miembro, "", representa el cuantificador existencial, que se lee: "existe al menos un x tal que".

66. Apertura del cuantificador universal

Preguntémonos ahora si podemos también aplicar a las fórmulas cuantificadas el otro sistema de representación gráfica, o sea, el de los tableros. Es decir, preguntémonos si podemos abrir las fórmulas cuantificadas. Nada lo impide, con tal de que lo hagamos con cuidado, entendiendo bien lo que hacemos, para no obtener resultados absurdos. Veámoslo. En primer lugar, tomemos la proposición universal. De acuerdo con la regla de la conjunción, podríamos en principio abrir la fórmula "" en un tablero de verdad fuerte, así:

( x )      ( Wx )

Pero la "( x )" sola, según hemos visto, no quiere decir nada, ni cumple ninguna función; podemos darla por eliminada conjuntamente con la llave conjuntiva que se transformó en el tablero, y así evitaremos errores y confusiones. Por lo demás, la "( x )" dentro de la conectiva de conjunción significa que la cuasi-proposición es verdadera siempre, cualquiera que sea el nombre propio que entendamos unido al respectivo predicado, en este caso W. Significa que la cusiproposición es verdad fuerte, como los miembros de una conjunción. Como esto es también lo que significa estar en el tablero principal, la "( x )" separada no es ya necesaria y podemos prescindir de sus servicios. Digamos pues, en forma de regla, que la "( x )" se desvanece en el acto mismo de ser abierta la conjunción que la conecta a la otra fórmula, el objeto de la cuantificación. El resultado de abrir la cuantificación universal será entonces simplemente lo siguiente:

Pero hay más. Por la naturaleza de la cuantificación universal, abrirla nos da derecho a sustituir la x que acompaña al predicado, en este caso "W", por cualquier nombre propio. Recuérdese que este cuantificador nos dice que "para todo x" algo es verdad. Entonces también para "o" o "o" o "o". De ahí que cualquiera de las formulas "( Wo )" o " ( Wo )" o "( Wo )" ... puede quedar en nuestro tablero fuerte, por ejemplo:

Nótese que esta fórmula ya no es una cuasi-proposición sino que es una proposición atómica auténtica. No hay diferencia entre esta proposición y una proposición atómica verdadera cualquiera en relación con su fuerza de verdad.

67. Apertura del cuantificador existencial

Veamos ahora cómo proceder en el caso de la cuantificación existencial. El resultado de abrir la fórmula "" en un tablero de verdad débil será:

( x ) ( Wx )

Aquí, a diferencia de lo que sucede en el tablero fuerte, la "( x )" sí cumple una función, aunque tampoco represente nada en especial. La función que cumple es la de una bandera que nos recuerda que la fórmula "( Wx )" es una fórmula débil y que en el corral que ocupa no debe abrirse otra fórmula con exactamente la misma bandera.

Con esta restricción evitamos confusiones como la siguiente:


Aquí dice, por ejemplo, que algo en el universo es alto y que algo en el universo es bajo. Si ahora abrimos la primera cuantificación existencial, tendremos:

( x ) ( Wx )


Las fórmulas que están en un corral se consideran fuertes con respecto a todo el contenido de ese corral; entonces, la fórmula "" puede abrirse dentro del corral donde está la "( Wx )". Pero eso nos pondría en peligro de concluir que en el universo hay algo que es alto y bajo al mismo tiempo. Sin embargo, la bandera "( x )" nos advierte de ese peligro. Entonces procederemos a abrir la segunda cuantificación con una bandera diferente, variando el color de la "( x )", así:

( x ) ( Wx ) ( x) ( Yx )


con lo que queda claro que los predicados "W y "Y" califican a distintos individuos.

68. Proposiciones categóricas

Hasta aquí hemos considerado cuantificaciones en que la cuasi-proposición correspondiente no contiene conectiva. No obstante, las cuasi-proposiciones de la mayor parte de las expresiones generales son interpretables como fórmulas de tipo molecular. Las más importantes de estas son las llamadas proposiciones categóricas. Helas aquí:

    Todo W es Y       (v.g., Todo hombre es mortal)          – universal afirmativa
  Ningún W es Y      (v.g., Ningún hombre es perfecto)     – universal negativa
    Algún W es Y      (v.g., Algún hombre es sabio)            – particular afirmativa
    Algún W no es Y (v.g., Algún hombre no es bueno)      – particular negativa

Aplicando el análisis de estructura, tenemos las siguientes expresiones equivalentes:

    Todo W es Y       de todo x se dice que si x es W entonces x es Y      – universal afirmativa
  Ningún W es Y      de todo x se dice que si x es W entonces x no es Y  – universal negativa
    Algún W es Y       Existe al menos un x tal que x es W y x es Y            – particular afirmativa
    Algún W no es Y  Existe al menos un x tal que x es W y x no es Y        – particular negativa

Formalicemos estas expresiones, según nuestra simbología ("x no es Y" se interpreta como "no es el caso que x es Y"):

    De todo x se dice que si entonces                                    
    De todo x se dice que si entonces                                    
    Existe al menos un x tal que                                                
    Existe al menos un x tal que                                                

Como puede apreciarse, no todo lo que es sujeto en el lenguaje ordinario sigue siendo sujeto en el nuestro formalizado: "W" es sujeto gramatical en las distintas proposiciones originales, pero es predicado en las formalizadas. El único sujeto lógico es la "x" que aparece en las cuasi-proposiciones dentro de las proposiciones cuantificadas, o bien la "o" que aparece en las proposiciones atómicas, por sí mismas o como parte de proposiciones moleculares.

69. Relaciones de oposición

Las proposiciones categóricas pueden ser colocadas en un gráfico o cuadro llamado tradicionalmente cuadro de las oposiciones, de modo que las dos proposiciones universales se sitúen arriba y las dos proposiciones afirmativas se sitúen a la izquierda, así:

	Afirmativas	Negativas
Universales
Existenciales

Es interesante ver las relaciones que se cumplen entre estas cuatro proposiciones. Si nos fijamos bien, nos daremos cuenta de que la fórmula universal afirmativa es la imagen en el espejo de la fórmula existencial negativa; igualmente, la fórmula universal negativa es la imagen en el espejo de la fórmula existencial afirmativa. Recordemos que esa relación gráfica, ser gemelos en el espejo, representa la operación de la negación. Estas fórmulas, pues, son la una negación de la otra; decimos que son contradictorias entre sí. Lo que una dice lo niega la otra, y viceversa. Si volvemos al lenguaje ordinario, "todo W es Y" es contradictoria de "algún W no es Y"; "ningún W es Y", por su parte, es contradictoria de "algún W es Y". De la verdad de una de cada par de contradictorias podemos inferir la falsedad de la otra. Y de la falsedad de una cualquiera de ellas podemos inferir la verdad de la otra.

Esto nos da base para proponer una manera distinta de expresar estas relaciones, donde la simetría especular ("gemelidad" en el espejo) quede conspicua. A saber:

	Afirmativa	Negativa
Universales
Existenciales
	Negativa	Afirmativa

Contenido existencial

Algunos autores afirman que además de la apuntada existen otras relaciones lógicas en el cuadrado de las oposiciones. Por ejemplo, que si "todo W es Y" es verdadera, "ningún W es Y" no puede serlo, y que si "algún W es Y" es falso, "algún W no es Y" no lo puede ser. Sin embargo, estos autores trabajan bajo el supuesto de que "existe al menos un W", conocido como hipótesis de contenido existencial. De acuerdo con esa hipótesis, se supone que nadie se molestaría en hacer afirmaciones en que no se supusiera que el sujeto gramatical de la oración existe. Sin embargo, eso no es el caso. Podemos hacer afirmaciones de ese tipo por broma o simplemente por ignorancia supersticiosa, por ejemplo. Es posible en esos casos que "todo W es Y" y "ningún W es Y" sean ambos verdaderos; por ejemplo, si un estudiante llega a visitar a su novia a pie (como siempre), podrá decirle: –Todos mis Mercedes están desinflados–, lo que sería verdad, pues si algo fuera Mercedes y mío estaría desinflado pero como nada lo es nada lo está, lo cual es exacto. Y su novia estará pensando, también con verdad: –Ningún Mercedes suyo está desinflado– pues sabe convincentemente que no tiene ningún Mercedes. Por otra parte, en el entendido de que los platillos voladores no existen, tenemos que considerar falsas las dos siguientes proposiciones: "algún platillo volador es extraterrestre" y "algún platillo volador no es extraterrestre". Por muchas razones de efectividad operacional, preferimos –como la enorme mayoría de los lógicos modernos– no trabajar bajo ese supuesto de contenido existencial. Cuando es indispensable usarlo, lo expresamos directamente, como premisa adicional de nuestras deducciones, por ejemplo: "existe algo que es Mercedes y mío" (lo cual es falso para la inmensa mayoría de los profesores de lógica, incluyéndome a mí).

70. La cuantificación en el lenguaje ordinario

Las proposiciones categóricas son una especie de modelo de lo que nos gustaría que fueran todas las proposiciones cuantificadas, ya que su manejo es sumamente sencillo. Sin embargo, este ideal no es realizable. Muchas proposiciones del lenguaje ordinario tienen una estructura lógica más complicada. En este curso no las estudiaremos; nos limitaremos a estudiar las proposiciones categóricas, y todas aquellas que de alguna manera puedan transformarse en proposiciones de este tipo. Daremos algunas reglas para esa transformación.

En primer lugar, muchas proposiciones no contienen el verbo "ser", sino algún otro verbo. Nuestras proposiciones categóricas siempre lo contienen (o su equivalente, el más débil "estar"); hemos analizado la proposición atómica como la atribución de un predicado (que expresa una propiedad) a un nombre propio (que representa a un individuo); y esta atribución se hace con el verbo "ser"; en nuestra simbología queda indicada por la simple yuxtaposición del predicado y el nombre propio (por ejemplo: "Wx"). Las proposiciones que no contienen el verbo "ser" pueden convertirse fácilmente en proposiciones que sí lo contienen, mediante alteraciones de poca monta. Por ejemplo, "Juan presume mucho" se puede transformar en "Juan es un presumido"; "María estudia todo el año", tal vez en "María es una empollona" ⁽¹⁾. Algunas de estas transformaciones no resultan bonitas, y probablemente no las aceptará el profesor de español; pero para el análisis lógico son enteramente satisfactorias. Por cuanto son proposiciones categóricas, estas versiones se prefieren a las proposiciones originales, que no lo son. Tendremos que prescindir de belleza literaria y a veces de corrección gramatical en muchos casos, aunque desde luego trataremos de evitarlo cuando sea posible.

Otro tipo de proposición categórica lograda por transformación de una proposición que no lo es resulta de la eliminación de una proposición singular. Así, "Sócrates es mortal", una proposición singular, puede normalmente representarse como "Yo". A fin de tener solo "x" y no "o" en nuestra proposición, podemos recurrir a un procedimiento artificioso aunque razonable. Consiste en introducir un predicado arbitrario, digamos "W", cuyo nombre en lenguaje ordinario podría ser, para el caso, "socrático", con la condición de que su intensión sea la suma total de las propiedades que asociamos con este particular y único individuo histórico, Sócrates. Ahora podemos expresar la idea de que Sócrates es mortal con una proposición categórica universal afirmativa, a saber "Todo lo socrático es mortal"; en nuestros símbolos: . Podemos hacer lo mismo con cualquier otra proposición atómica singular, afirmativa o negativa. Artificioso pero útil, si de verdad estamos limitados a trabajar exclusivamente con esta clase de proposiciones.

Algunas proposiciones del lenguaje ordinario son proposiciones categóricas "disfrazadas" y es muy sencillo descubrir que lo son fijándonos cuidadosamente en lo que significan. Si decimos "los mansos heredarán la Tierra", podemos ver que se trata de una proposición universal afirmativa a pesar de no incluir el cuantificador "todos". "Cualquiera es bien recibido" es también universal afirmativa. "Hay moros en la costa", en cambio, es evidentemente existencial afirmativa, pudiendo transformarse en "algunos moros son seres que están en la costa".

Ciertas otras proposiciones contienen cuantificadores más específicos que "todos" o "algún", por ejemplo "muchos", "unos cuantos", "365", etc. En todos estos casos habrá que considerar que la proposición tiene carácter existencial puesto que la respectiva cuasi-proposición no está siendo afirmada universalmente. Si con ello se pierde información valiosa, eso querrá decir que el problema no es reducible a la lógica elemental y deberá ser tratado por alguna rama superior de la lógica (que aquí no enseñamos o que tal vez todavía no se haya inventado) o por las matemáticas (que es también una rama de la lógica, sumamente elaborada). Algunos cuantificadores son mixtos; por ejemplo, "casi todos", "no todos", "todos menos unos pocos"; en realidad expresan dos cuantificadores en vez de uno. Así, "casi todos los diputados estuvieron de acuerdo" significa "algunos diputados estuvieron de acuerdo" y "no es el caso que todos los diputados estuvieron de acuerdo".

Finalmente, vale la pena llamar la atención sobre las proposiciones categóricas universales que se esconden tras las palabras "sólo" o "solamente". Por ejemplo, "solo los violentos conquistarán el Reino", debe transformarse en "todos los que conquistarán el Reino son violentos". Debemos cambiar la palabra "sólo" por el cuantificador "todos" y al mismo tiempo intercambiar las posiciones de los predicados.

Nota 1: "María ama a Juan" puede formalizarse de dos maneras distintas: "María es amadora de Juan" o bien "Juan es amado de María". Alternativamente podemos considerar "amadora de Juan" o "amado de María" como predicados lógicos, alternando también los sujetos lógicos. Sin embargo, la mejor formalización, pero no la usaremos en el curso, es la que expusimos antes según la cual el predicado es la relación "amar" que exige dos sujetos lógicos (por ejemplo, "Juan" y "María"). La lógica de relaciones, donde los predicados pueden tener dos o más sujetos, es una rama avanzada de la lógica formal.