Claudio Gutiérrez

88. Regla de creación

Las reglas que hemos explicado hasta el momento y que hemos aplicado en la estrategia directa son reglas que nos permiten operar con el material existente en el tablero; nos permiten abrirlo, cerrarlo, reproducirlo o introducirlo en espacios interiores, promoverlo a espacios más fuertes. Con tales reglas podemos resolver una cantidad de problemas de lógica elemental. Sin embargo, no podemos resolverlos todos. Ciertas demostraciones que actúan con estrategia indirecta requieren una regla que nos permita crear nuevo material, o sea, poner en el tablero fórmulas distintas a las que inicialmente nos han sido dadas como premisas. ¿Será posible contar con una regla de carácter tan especial? Desde luego, no podríamos nunca autorizar la creación de nuevas fórmulas en el tablero de verdad fuerte; ello equivaldría a aceptar premisas sin fundamente alguno. Pero tenemos también los tableros débiles. Recordemos lo que estos tableros dobles quieren decir: nos afirman que por lo menos uno de ellos contiene fórmulas tan verdaderas como aquellas en el espacio que los contiene. Si ahora consideramos el hecho de que de dos proposiciones contradictorias (gemelas en el espejo) una de ellas tiene necesariamente que ser verdadera (tertium non datur, como decían los antiguos), tendremos que concluir que es perfectamente legítimo introducir tableros dobles que contengan cada uno solamente una de dos fórmulas recíprocamente gemelas en el espejo. Así pues, sí es posible contar con una regla que nos permita crear material nuevo; pero dicha creación debe tener lugar en dos tableros secundarios introducidos especialmente para ese efecto, y las dos fórmulas creadas deben ser la reflexión especular una de la otra y estar cada una de ellas inicialmente sola en uno de los dos espacios enyuntados. Esta es la regla:

Podemos crear dentro de cualquier espacio un tablero doble cuyos espacios contengan cada uno solamente una fórmula, siempre y cuando las dos fórmulas guarden entre sí simetría vertical (sean recíprocamente gemelas en el espejo en el eje vertical).

Esta regla se aplica por igual a proposiciones y a cuasi-proposiciones. En cambio, no se aplica a la expresión "", que por sí misma no es ni lo uno ni lo otro, y cuya imagen en el espejo es ella misma. Establecemos ésta como la única restricción a la presente regla.

89. Verdades lógicas

La regla de creación tiene una característica muy interesente: nos permite demostrar ciertas proposiciones sin necesidad de usar material alguno preexistente; o sea, nos ofrece la posibilidad de llegar a ciertas conclusiones sin la ayuda de premisas. Por ejemplo, hace posible la solución de un problema en que no hay premisas, como el siguiente:


Como tenemos la libertad de crear cualquier fórmula y su contradictoria, crearemos las dos fórmulas que integran la conclusión:

Al cerrar la disyunción obtenemos una fórmula idéntica a la fórmula modelo, la
que habremos sacado de la nada, es decir sin partir de ningún material preexistente. De paso, habremos formulado una verdad necesaria, independiente de toda experiencia.


Este tipo de verdades, llamadas corrientemente "verdades lógicas", no requieren de ninguna averiguación práctica para ser aceptadas; basta entender lo que dicen para darse cuenta de que podemos afirmarlas como verdaderas. Como muestra, la conclusión del ejemplo anterior dice que o bien dos proposiciones cualesquiera son ambas verdaderas o bien por lo menos una de ellas es falsa, lo que inmediatamente comprendemos que tiene que ser por fuerza verdadero. La regla de creación significa, pues, en el fondo, que siempre podemos tener como premisas adicionales en nuestros razonamientos un infinito número de proposiciones, a saber, todas las verdades lógicas. Su fuerza es tan grande como la de las buenas definiciones, pues no solamente constituyen premisas verdaderas sino también verdaderas necesariamente, lo que las hace inmunes a los ataques de cualquier adversario.

90. Las "leyes del pensamiento"

Entre las verdades lógicas, las cuales son infinitas en número, hay tres muy famosas que conviene destacar aquí. Los antiguos las consideraban como las leyes del pensamiento, la base misma de la lógica. Hoy les damos un lugar más modesto como unas cuantas del inmenso número de proposiciones que pueden probarse sin ayuda de premisas, mediante la regla de creación. Su importancia ilustrativa es, no obstante, muy grande, y por ello nos vamos a referir a ellas con algún detenimiento. Son tres, a saber: la ley de identidad, la ley de contradicción, y la ley de tercero excluido.

La ley de identidad dice que "lo que es, es", o en forma lógicamente más exacta: "lo que es verdadero, es verdadero"; mejor aún, "si algo es verdadero entonces es verdadero". La ley de contradicción dice que "lo que es no puede no ser al mismo tiempo y en el mismo sentido", o más rigurosamente: "dos proposiciones contradictorias entre sí no pueden ser ambas verdaderas"; mejor aún, "no es el caso que una proposición sea verdadera y también no lo sea". La ley de tercero excluido nos dice, finalmente, que "entre el ser y el no ser no hay término medio", o sea: "dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas falsas"; mejor aún, "una proposición o bien no es verdadera, o bien lo es". Las tres "leyes del pensamiento" se representan todas mediante una misma fórmula, a saber: "", que se demuestra sin necesidad de premisas creando gemelos en el espejo en un tablero doble:

creamos las dos fórmulas que integran la conclusión
cerramos la disyunción

y hemos obtenido la conclusión deseada.

De hecho, la ley de identidad tiene la forma condicional: "si algo es verdadero entonces lo es"; es decir, "si entonces ". Como sabemos, para representar gráficamente el condicional debemos negar el antecedente y ponerlo en una disyunción con el consecuente: "". La ley de contradicción se lee como la negación de una conjunción: "no es el caso que una proposición sea verdadera y no lo sea", o "no es el caso que y no ". Representamos la conjunción " y no " así: "". Al negarla la reflejamos en el espejo, quedando así: "". Finalmente, la ley de tercero excluido dice: "una proposición o bien no es verdadera o bien lo es"; o sea, "o bien o bien ", que se representa así: """. En resumen: nos encontramos con que, en nuestra grafía, ¡las tres "leyes del pensamiento" se reducen a una y la misma fórmula!

Existe una relación importante entre cada una de estas leyes y una de nuestras reglas de inferencia. Así, la ley de identidad tiene relación con la regla de introducción, porque lo que es verdad fuerte lo es todas las veces que se quiera (nuestra regla de introducción nos permite repetir las fórmulas que consideramos verdaderas). La ley de contradicción se relaciona con la regla de promoción: dos fórmulas contradictorias en el mismo espacio nos aseguran que el contenido del tablero no es todo verdadero. La ley de tercero excluido nos dice que por lo menos una de dos proposiciones contradictorias es verdadera, lo que permite crear contradictorias dentro de una disyunción, lo que constituye nuestra regla de creación ⁽¹⁾.

91. Estrategia indirecta

La regla de creación, como las otras reglas, puede usarse tácticamente; o sea, emplearse para transformar directamente unas proposiciones en otras, según lo que vayamos necesitando. Así, por ejemplo, puede usarse para transformar "" en "" mediante el expediente de crear "" y su gemela e introducir la "" en uno de los espacio del tablero doble (en el que no está ""); esto sería un nuevo caso de debilitamiento. El principal uso de la regla de creación, sin embargo, no es táctico sino estratégico: nos permite todo un nuevo estilo de deducción que vamos a llamar precisamente estrategia indirecta. En contraposición a la estrategia directa, en que aplicamos las reglas al material a mano, la regla de creación nos abre el camino indirecto de crear una parte o la totalidad de lo que queremos demostrar. Nos ahorramos así mucho trabajo. Además, ciertas conclusiones solo pueden obtenerse por medio de esta estrategia. Ella es, pues, un recurso insustituible del arsenal lógico.

La estrategia indirecta puede ser de dos clases, dependiendo de la forma en que apliquemos la regla de creación a nuestro problema: puede ser que pidamos una de las partes de una conclusión disyuntiva (y, por supuesto, su gemela en el espejo en el otro espacio), con lo que estaremos en el caso de una prueba hipotética. O puede ser que pidamos la totalidad de la conclusión (y su contragemela), en cuyo caso estaremos empleando una prueba por reducción al absurdo. Pasamos a explicar cada uno de estos estilos de estrategia indirecta.

92. Prueba hipotética

La prueba hipotética consiste en suponer algo y ver qué consecuencias se siguen. Tiene importancia cuando la conclusión que se nos pide es de carácter hipotético, o sea, que incluye verdades débiles (una disyunción o un condicional). Si por ejemplo tenemos que probar la conclusión "si entonces, si entonces ", con ayuda de la premisa "si y entonces ", puede convenirnos suponer que "" es verdadero para ver qué pasa. "Suponer" quiere aquí decir "crear" por la técnica de gemelos en el espejo. Veamos el ejemplo:

La premisa sola no nos permite por transformación directa lograr la conclusión pero podemos pedir "" y su imagen en el espejo,
introducir la premisa,
abrir la disyunción
e introducir
para finalmente aplicar separación de y cerrar las dos disyunciones.

Es de notar que este problema es un caso de asociación de la disyunción, ley que no pudimos probar a la altura del capítulo XI porque nos faltaba formular la regla de creación.

93. Reducción al absurdo

Muchas veces en medio de una discusión no encontramos la manera de refutar una proposición que, sin embargo, nos parece falsa. En tal situación podemos decir que nos faltan premisas; en consecuencia, podemos pedir alguna, mediante la regla de creación. Pero ¿cuál? No es necesario pensarlo mucho: lo más práctico es pedir la conclusión que queremos formar, pagando naturalmente el precio de crear también, en un espacio gemelo, su negación o gemela en el espejo, que sería la tesis de nuestro adversario. Es entonces también una forma de "suponer" que lo que el otro afirma es verdad, pero con la intención aviesa de mostrar cómo de esa tesis se desprende fácilmente una contradicción (gemelos en el espejo dentro del mismo espacio). De ahí el nombre de esta prueba: reducción al absurdo, ya que reducimos la tesis del contrincante a una contradicción o absurdo. Y por supuesto, ya sabemos que en un tablero doble, si en uno de los espacios se produce una contradicción, todo lo que contenga el otro espacio puede promoverse hacia el tablero inmediato exterior (regla de promoción).

Examinemos un ejemplo. Las premisas son: "si entonces " y "si entonces "; queremos probar la conclusión "si entonces y ". El ejemplo es artificialmente sencillo, de modo que nuestro presunto adversario debe ser un poco escaso, pues no cree que nuestra conclusión sea verdadera. Procedemos a crear en un tablero doble la tesis del oponente y la nuestra, que son gemelas en el espejo:

tesis del otro   nuestra tesis

introducimos las premisas
y abrimos la conjunción

la "" separa "" y "" de las premisas
y por conjunción formamos la contradicción
buscada que permite promover nuestra tesis.

Es importante subrayar que la reducción al absurdo es una estrategia sumamente poderosa: todo lo que podemos probar por otra estrategia podemos también probarlo, generalmente con más facilidad, por este método. Así pues, siempre que no veamos claro el camino a seguir, vale la pena aumentar nuestras premisas pidiendo la conclusión y su gemela en el espejo. Con seguridad podrá derivarse una contradicción en el espacio donde está su negación, si la conclusión buscada es en absoluto demostrable.

94. La lógica de la ironía

En la sección 44 comentamos un texto irónico tomado de la revista Commonweal; en él se usan premisas corrientemente empleadas para atacar los movimientos revolucionarios de nuestro tiempo como base para "demostrar" que los actos de Herodes, que llevaron a la matanza de los inocentes, estaban perfectamente justificados. Como todos estamos de acuerdo en que la matanza de los inocentes fue un crimen bárbaro, el que pueda probarse que no lo fue significa únicamente una cosa: las premisas usadas en la prueba son falsas. He aquí, pues, que la estructura lógica de un texto irónico corresponde claramente a la estrategia de la reducción al absurdo.

95. Prueba y contraposición

En este capítulo hemos hablado mucho de "pruebas": "prueba hipotética", "prueba por reducción al absurdo". Pero desde el capítulo anterior estamos presentando pruebas. Una prueba es la expresión gráfica de un razonamiento. Si se usa el lenguaje ordinario, es frecuente que cada paso se exprese como una línea; en el caso nuestro, en que usamos los tableros y otros elementos gráficos, podemos decir que cada paso queda expresado por un cuadro, algo así como una película de cine se compone de cuadros que son instantes de una secuencia de movimiento. Una prueba es entonces el movimiento del pensamiento lógico que pasa de una situación a otra, de conformidad con ciertas reglas (en el caso del cine también hay reglas: son las leyes de la cinemática y de la óptica, las partes de la física que más tienen que ver con la cinematografía). Las pruebas lógicas pueden ser largas y complicadas pero también pueden ser cortas y simples. Las tácticas estudiadas, por ejemplo, son de este tipo.

En nuestro sistema de representación de la lógica, como ustedes habrán notado, juega un papel crucial la metáfora de la "reflexión en el espejo". Nos sirve ante todo para expresar la idea de negación; pero también juega un papel crucial en las reglas de promoción y de creación. Ahora que hemos perfilado el concepto de "prueba" podemos aplicar esa misma metáfora para otro uso aún más poderoso. Consiste en lo siguiente: si tenemos una prueba con una sola premisa, podemos reflejar en el espejo no una fórmula sino toda la prueba; y cosa sorprendente, ¡obtendremos otra prueba válida ⁽²⁾! Esta prueba, llamada prueba por contraposición, es un gran recurso adicional en el arsenal de la lógica: si nos encontramos ante un problema difícil, podemos "reflejarlo en el espejo" para ver si el problema resultante es más fácil de resolver, pues existe la seguridad de que si una prueba es válida su contrapositiva también lo es ⁽³⁾.

Tomemos como una muestra simple de este hecho, la táctica de debilitamiento:

Quitamos el color

y reflejamos en el espejo la prueba entera
lo que nos produce otra prueba, a saber,
la táctica de división.

Tomemos como otro ejemplo la táctica de compactación:

reflejando en el espejo la prueba entera
obtenemos otra prueba, a saber,
la táctica de repetición.

De cada uno de pares de pruebas como estos decimos que las dos pruebas simétricas en el espejo se relacionan entre sí por contraposición. En el caso de pruebas con dos o más premisas, también podemos contraponerlas si tomamos la providencia de unir todas las premisas entre sí por conjunción, convirtiéndolas en una sola proposición. A partir de ese momento, tenemos en realidad una sola premisa y podemos aplicarle a ella y la conclusión la misma técnica. Recomendamos al lector ensayar el procedimiento con algunas de las pruebas con varias premisas que hemos mostrado hasta aquí.