Claudio
Gutiérrez 
Claudio
Gutiérrez 51. Estructura y representación gráfica
En el capítulo anterior explicamos cómo el lenguaje descriptivo puede ser analizado desde el punto de vista de su estructura lógica; que es posible distinguir diversas unidades de pensamiento independiente, llamadas proposiciones; y que esas unidades pueden ser atómicas o moleculares, formadas las últimas con ayuda de conectivas. Presentamos tres de éstas, a saber, la conjunción, la disyunción, y el condicional; además, la operación lógica especial que llamamos negación y que puede aplicarse a cualquier proposición, sea atómica o molecular. Haremos ahora una presentación más rigurosa de la misma materia, pero usando diversos métodos de representación gráfica de la estructura lógica. Todos ellos contribuyen a hacer evidente lo que hemos ya dicho que es fundamental en la estructura de las proposiciones moleculares: que su verdad o falsedad depende de, y exclusivamente de, la verdad o falsedad de las proposiciones atómicas.
52. Tablas de conjunción y disyunción
Pongámonos de acuerdo en representar dos distintas proposiciones atómicas con las letras "
" y "
". Cada
una de estas letras representará una proposición cualquiera, que puede ser verdadera o falsa y
referirse a cualquier materia. Por ejemplo, "la autoridad existe en la sociedad", "los insectos
ponen huevos", o "no podemos estar seguros absolutamente de nada". En cuanto hacemos lógica,
no nos interesa el contenido de las proposiciones; nos interesa únicamente su estructura. En este
caso nos interesa solamente que las proposiciones representadas por "" y "" son proposiciones
atómicas, o sea, que no se componen de otras proposiciones.
Teniendo ya estos dos símbolos para representar proposiciones cualesquiera, ahora podemos representar también las moléculas conjuntiva y disyuntiva, de la siguiente manera:
Como se ve, el signo "
", una llave que se cierra desde arriba sobre las
proposiciones, representará la conectiva de conjunción; mientras que el signo "
", una llave que se cierra desde abajo abrazando las dos proposiciones,
representará la conectiva de disyunción.
Si ahora nos preguntamos cómo saber si estas proposiciones son verdaderas o falsas, la respuesta es que eso depende de cómo sean, verdaderas o falsas, las proposiciones atómicas componentes. Podemos formar la siguiente tabla que dice cómo son las proposiciones moleculares en cada uno de los casos de verdad y falsedad de las proposiciones constituyentes:
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Pasando ahora a la negación, veremos que también aquí cabe construir una tabla de verdad y
falsedad. Representemos la negación de una proposición con la imagen en el espejo, sobre el eje
longitudinal, de la proposición que se niega. Si lo que se niega es "", entonces la negación la representaremos como "
"; Si tenemos duda sobre si una fórmula es la negación de la otra, la
imagen en el espejo deberá ser idéntica a la otra fórmula para que constituya su negación.
La tabla de verdad y falsedad es muy sencilla; si se trata de una negación atómica, tenemos:
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Y si se trata de una negación molecular, tendremos:
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La lectura de la fórmula no ofrece dificultades.
Pero ¿Cómo se lee la fórmula ? Si los lectores
no lo han descubierto por sí mismos, aquí está la traducción: "o bien no es el caso que o bien no es el caso que "; lo cual es otra forma de decir "no es el caso que y ".
Si ensayamos la negación molecular sobre una disyunción, en vez de sobre una conjunción, tendremos:
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La lectura de la fórmula 
es la siguiente: "no
es el caso que y no es el caso que "; lo cual por supuesto equivale a "no es el caso que o bien
o bien ".
Las tablas de negación molecular hacen evidentes las relaciones de significado que existen
entre la conjunción y la disyunción: negar una conjunción equivale a afirmar disyuntivamente las
negaciones de las proposiciones que forman la conjunción. Negar una disyunción equivale a
afirmar conjuntivamente las negaciones de las proposiciones que forman la disyunción.
Invitamos al estudiante a que asigne proposiciones del lenguaje ordinario a los signos "" y "" y
compruebe por sí mismo que estas relaciones se cumplen.
Antes de hacer una tabla para el condicional tenemos que recordar exactamente qué es lo que
decimos con "si entonces ". Lo que afirmamos es que no es el caso que el antecedente, o sea "", sea verdadero y el consecuente, o sea "", sea falso. Es decir, negamos la proposición molecular
"
". Y como la negación se representa reflejando
en el espejo lo que queremos negar, el condicional es equivalente a "
". Hay dos maneras de leer esta fórmula. La primera es, como ya se dijo,
"no es el caso que y no ". La segunda es "o bien no o
bien ". Para asegurarnos de que esta última
lectura del condicional es correcta, imaginémosla traducida a lo que dice una mamá cansada a sus
hijos pequeños: "No hagan ruido o se van a acostar". Evidentemente, esto equivale a decirles: "Si
hacen ruido se van a acostar".
Ahora sí podemos representar la molécula condicional:
Para representar el condicional debemos negar el antecedente y junto con el consecuente ponerlo
dentro de una llave disyuntiva (este último no se modifica). Si el antecedente es una molécula,
aplicamos la misma receta: el antecedente se refleja en el espejo y se une disyuntivamente al
consecuente.
Representemos como ejemplo el siguiente condicional: "si la autoridad se hace ineficaz o injusta
entonces debe ser sustituida". Pongamos "la autoridad se hace ineficaz" como ""; "la autoridad se hace injusta" como ""; y "la autoridad debe ser sustituida" como "
". La proposición total es un condicional, pero su antecedente es
molecular. Una traducción provisional sería: "Si
entonces "". Aplicando la regla de representación del
condicional, esto se transforma en "
", pues
la negación del antecedente es "". Obsérvese
que en la fórmula del condicional la llave disyuntiva abarca la conjuntiva (negación del
antecedente) pues esta es una de las partes de la disyunción mayor.
Hemos visto así las relaciones que existen entre el condicional y las otras conectivas, disyunción y conjunción, a través de la operación de negación. Estamos listos para construir la tabla del condicional:
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Si el condicional contiene un antecedente y consecuente moleculares, los valores de la tabla no cambian:
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Hemos visto que la llave superior "" sirve para representar gráficamente la
conjunción o molécula conjuntiva. Hay otra manera alternativa de representar eso mismo.
Llamemos "tablero" a una superficie plana y cerrada, por ejemplo una hoja de papel o un
pizarrón. De una conjunción podemos decir que es una afirmación fuerte de las proposiciones
conectadas: ambas son verdaderas. Destinemos un tablero para consignar esas proposiciones
dadas por las afirmaciones fuertes, y en general todas las proposiciones verdaderas que
encontremos en nuestro análisis. Entonces, una conjunción puede representarse gráficamente, sin
necesidad de llave, escribiendo en el tablero, por aparte, cada una de las proposiciones que son
parte de la conjunción. El tablero pasa a ser, por así decirlo, una gran conjunción de todas las
proposiciones contenidas en él.
Si nuestro análisis nos ha llevado a descubrir que las
proposiciones "", "", y "
" son
verdaderas, podemos representar el conjunto de ellas en nuestro tablero así:
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Recíprocamente, si en nuestro tablero hay varias proposiciones, podemos unir cualquier número
de ellas, de dos en dos, con una llave de conjunción, dentro o fuera del tablero, formando
cualquiera de las posibles combinaciones; en el ejemplo,
"
",
"",
"
",
"
", etcétera. En resumen, para una proposición es
lo mismo estar dentro de un tablero que estar abarcada por una llave superior.
Así como hay un tablero para la conjunción, que es simple, podemos crear un tablero doble para
representar la disyunción. La conjunción afirma que las proposiciones conectadas son todas
verdaderas; la disyunción, en cambio, que por lo menos una de ellas es verdadera, aunque por el
momento no sabemos cuál. Podemos entonces representar gráficamente la disyunción con un
tablero doble dentro del tablero simple o de conjunción. En cada "cuarto" o "corral" del tablero
doble aparecerán libres las dos proposiciones conectadas por la disyunción, como una
representación "abierta" de la fórmula disyuntiva normal o "cerrada". La proposición disyuntiva
"" que se encuentra cerrada en el tablero que la
contiene
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puede pues abrirse para dar la siguiente representación alternativa:
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Esta representación es equivalente a la anterior y afirma que uno de los corrales gemelos, no sabemos cual, podría dejar salir sus fórmulas hacia el tablero que contiene el tablero doble (por tener solo proposiciones verdaderas); las fórmulas del otro corral, en cambio, no merecen nuestra confianza. Esta incertidumbre nos hace calificar al tablero doble como tablero débil, en contraste con el simple que afirma que todas sus proposiciones son definitivamente verdaderas (desde luego, dentro de la perspectiva de un observador que considere ese tablero como tablero principal). La utilidad de esta representación abierta es que nos permite manipular las fórmulas que se encuentran en los corrales gemelos (1), con la esperanza de producir algo obviamente falso en uno de los dos, lo que nos dirá que las fórmulas del otro son las verdaderas y permitirá unificar sus proposiciones con las del tablero inmediato exterior.
Las representaciones abiertas de la conjunción y la disyunción pueden combinarse. Así, en el caso
de la proposición 
la representación abierta
sería
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Una disyunción abierta, como la anterior, puede volver a cerrarse en el tablero principal –incluso varias diferentes veces–; para ello basta tomar una proposición completa de cada uno de los patios gemelos, conectándolas mediante la llave de disyunción:
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Para evitar confusiones sobre la verdad de las proposiciones que aparecen dentro de una disyunción es importante que una vez abierta una no se abra ninguna otra en el mismo patio mientras que la primera no se haya cerrado y su juego de patios gemelos se haya descartado. Entonces podemos abrir la siguiente estrenando un juego nuevo de patios gemelos. Si tenemos la fórmula
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pero nunca jamás de esta otra:
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57. Traducción del lenguaje ordinario
No siempre encontramos en el lenguaje ordinario las conectivas estudiadas en su forma pura, como "y", "o", "si ... entonces ...". A veces esas ideas se expresan con palabras como "pero", "aunque", "a menos que", y varias otras. Todas estas palabras agregan algún matiz psicológico a la relación lógica o estructural de las proposiciones. Desde el punto de vista del análisis lógico, debemos siempre considerarlas como equivalentes a las simples conectivas. Así, "Juan no te quiere, pero yo sí" es lo mismo, desde el punto de vista de estructura, que "Juan no te quiere y yo te quiero"; en esta versión se ha perdido el matiz de consuelo que había en la primera, pero ese matiz no es de interés para la lógica.
A continuación damos algunas equivalencias para orientar al lector en la formalización de los textos del lenguaje ordinario:
sólo si ",
" si ",
" con tal que ",
" en caso que "
=
"si entonces "
Hay muchas otras equivalencias más que el estudiante captará con la práctica.
A la hora de formalizar un texto conviene proceder de afuera para adentro; es decir, encontrar la conectiva mayor, e ir después poco a poco, en varios pasos, formalizando las otras conectivas. Ilustraremos con un ejemplo.
Partimos del siguiente trozo de lenguaje ordinario:
", "", "" y "" en vez de las
proposiciones atómicas y armando el rompecabezas de las distintas formalizaciones parciales,
tenemos: o ] entonces [ y
] entonces 
entonces .
.58. Aplicación de la representación gráfica
El método de tablas
de verdad y falsedad nos permite decidir cuál es el valor, verdadero o falso, de una proposición
molecular conociendo los valores de las proposiciones atómicas que la integran. Esto vale aun en
el caso de que las conectivas se apliquen no solo a proposiciones atómicas sino también a
proposiciones moleculares. En este último caso las tablas de verdad se usan para decidir el valor
de las fórmulas moleculares más simples; a partir de estos valores se decide el valor de las
conectivas siguientes, y así sucesivamente, de adentro para afuera. En el ejemplo anterior, si se nos
dice que "" y "" son proposiciones verdaderas, pero "" y "" son falsas, aplicando las
tablas de conjunción y de disyunción sabremos que "" es verdadera y que "" es
falsa; con todo, la proposición total resulta verdadera por ser una disyunción con un componente
verdadero. No tenemos que aplicar la tabla del condicional ya que –como se indicó antes– el
condicional siempre lo representamos como una disyunción con su primer elemento negado.
En cuanto al método de representación en tableros, su aplicación tiene lugar en la solución de problemas de razonomiento y será ampliamente ilustrada en el Capítulo XI.
Hasta el momento hemos dejado más o menos indefinido el número de proposiciones que puede
abarcar directamente una conjunción o una disyunción, aunque en los ejemplos hemos limitado
ese número a solamente dos. En realidad, todo lo dicho hasta aquí sobre estas dos conectivas es
compatible con la existencia de llaves que abarcaran más de dos proposiciones a la vez, con tal
de que proveamos tableros con múltiples patios coaligados para abrir la disyunción, según su
tipo. Sin embargo, para evitar errores y confusiones relacionados con la materia de los próximos
capítulos es conveniente limitar a dos proposiciones por llave cada fórmula conjuntiva o
disyuntiva. Las fórmulas con más de dos elementos siempre podrán ser expresadas con ayuda de
múltiples conjunciones o disyunciones, por ejemplo de las siguientes maneras: para la
conjunción, 
o bien 
; y para la disyunción 
o bien 
.
Para mayor rigor, podemos dar un conjunto de reglas de formación que nos digan estrictamente cuáles fórmulas son bien formadas en nuestro lenguaje lógico. Uno de los posibles conjuntos que llenarían esta función es el siguiente:
", "", "", "", y en general todo símbolo horizontalmente simétrico, son fórmulas bien
formadas.
" abarcando exactamente dos fórmulas bien
formadas es también fórmula bien formada.
Dejamos que el lector idee un conjunto de reglas, distinto a éste aunque parecido a él, que también puede llenar la función requerida.
Nota 1: Por ejemplo, si uno de los miembros
de la disyunción es una conjunción, una vez abierta la primera en dos patios gemelos podemos
proceder a abrir libremente la segunda dentro de uno de esos patios subordinados.