Capítulo IX

Cuantificación
Proposiciones universales y existenciales

Claudio Gutiérrez

60. Sujeto lógico y predicado

Hasta el momento nuestro análisis ha considerado como última unidad de estructura a la proposición atómica. Tal proposición, representada por ejemplo por "", es un pensamiento completo –lo más pequeño lingüísticamente de que puedo decir que es verdadero o falso–. Ahora bien: a pesar de ser cierto que no hay nada más pequeño que la proposición atómica que sea verdadero o falso, hay algo más pequeño, parte de la proposición atómica, que es verdadero de ... o falso de .... Por ejemplo, "... tiene confianza en sí mismo" puede ser verdadero de Juan. Aunque no puedo decir que sean verdaderas o falsas por sí mismas, puede resultar importante distinguir palabras como "Juan" de frases como "... tiene confianza en sí mismo". De las primeras decimos que son sujetos lógicos; de las segundas, que son atributos lógicos o simplemente predicados ⁽¹⁾.

Una misma proposición atómica puede ser considerada unidad indivisible, como "", o también copulación de dos ingredientes analíticos, sujeto lógico y predicado. Este análisis permite hablar de predicados que corresponden a un solo sujeto lógico, así como también de sujetos lógicos que corresponden a un solo predicado. Si tomamos la proposición atómica "Juan es un ser humano", podemos descomponerla en el sujeto lógico "Juan" y el predicado "... es un ser humano". Juan tiene muchos otros atributos, de modo que hay un conjunto de predicados que le corresponden; por ejemplo "... es inteligente", "... es costarricense", "... es moreno", "... mide 1.80m de estatura", etc. A su vez, "... es un ser humano" tiene muchos otros sujetos lógicos posibles, por ejemplo "Pedro", "Pablo", "José", etc.

Un momento de reflexión nos hará identificar lo que hemos llamado aquí predicado con lo que explicamos en el capítulo VI como término colectivo; en tanto que lo que hemos llamado aquí sujeto lógico corresponde a lo señalado allá como nombre propio (el conjunto de sujetos lógicos a los que conviene un determinado predicado corresponde a la extensión del predicado o término colectivo).

61. Proposiciones singulares y proposiciones generales

La frase "... es un ser humano" no es una proposición, pues no podemos decir que sea verdadera o falsa. Puede sin embargo ser convertida en una proposición si en el lugar vacío –los puntos suspensivos– ponemos un nombre propio. Llamaremos a este procedimiento ejemplificación, pues "Juan es un ser humano" puede considerarse un ejemplo de "... es un ser humano". Su resultado es una proposición singular por la que determinado predicado es atribuido a un individuo concreto. Tal procedimiento sirve para convertir un predicado en una proposición; pero no es el único medio de lograr esto. Como a veces nos gusta hablar en forma poco definida, podríamos convertir "... es un ser humano" en "x es un ser humano", donde "x" ocupa el lugar de un nombre propio. Diremos que "x es un ser humano" es casi una proposición, porque hemos llenado el lugar vacío; pero el "nombre propio" que hemos usado es enigmático y no podemos saber todavía si la expresión es verdadera o es falsa. Todavía no es una proposición propiamente dicha. La llamaremos cuasi-proposición.

La cuasi-proposición se convierte en proposición tan pronto como decimos a cuántos de los individuos que integran el universo (o nuestra base de datos) es aplicable. A esto llamamos cuantificar la cuasi-proposición. Su resultado sí es una proposición; es una proposición general o proposición cuantificada. Podemos por ejemplo decir que la cuasi-proposición se aplica exacta y solamente a un individuo. Nuestra cuasi-proposición se convertiría entonces en lo siguiente: "de exacta y solamente un x digo que es un ser humano", donde el nombre propio indefinido "x" representaría a un elemento cualquiera, no sabemos cual, del universo. O podríamos decir "de todo x digo que x es un ser humano", lo que sería falso. Son distintas maneras de cuantificar la cuasi-proposición de nuestro ejemplo. Falsa o verdadera, nuestra expresión sería ya una proposición, y no una cuasi-proposición, puesto que ahora sí podemos decir cuál es su valor lógico, estamos en presencia de un pensamiento lógicamente completo.

62. Proposiciones universales y proposiciones existenciales

Este segundo procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de generalización, puesto que es un modo de hablar "en general", sin especificar el nombre propio de nuestro sujeto lógico. De las muchas formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles. La primera, que llamaremos generalización universal consiste en anteponer a la cuasi-proposición las palabras "de todo x se dice que"; la segunda, que llamaremos generalización existencial consiste en anteponerle las palabras "existe al menos un x tal que". Veamos unos ejemplos.

Si nuestro predicado es "... es bueno", nuestra cuasi-proposición será "x es bueno", lo que no sabemos si es verdadero o falso ni tampoco podemos averiguarlo. Para ello hace falta anteponer alguna frase. Así, un optimista dirá: "de todo x digo que x es bueno", lo que equivale en lenguaje ordinario a "todo es bueno". Un pesimista dirá en cambio: "de todo x digo que no es el caso que x es bueno", que en lenguaje cotidiano equivale a "nada es bueno". Las personas moderadas y sensatas dirán más bien: "existe al menos un x tal que es bueno" y "existe al menos un x tal que no es bueno". Las dos primeras generalizaciones son universales; las dos últimas, existenciales.

Tratemos ahora de representar gráficamente estas nuevas distinciones y conceptos analíticos. Si la proposición atómica, no analizada lógicamente excepto en cuanto a su valor de verdad, era representada con cualquiera de las letras "", "", "", "", los predicados podemos representarlos con las mismas letras seguidas de un guion ⁽²⁾. Este guión nos indicará que algo se ha quitado de la proposición original, a saber, el nombre propio o sujeto lógico: y lo ponemos todo entre paréntesis como advertencia de que se trata de una sola proposición atómica, no de una proposición molecular: "(-)", "(-)", "(- )", y "(-)". Si ahora volvemos a poner el nombre propio, pero de modo que se note su presencia, podemos convenir en representarlo mediante una "o" que tiene la ventaja de que no se modifica al reflejarse en el espejo cuando queremos negar la proposición.

Como con seguridad querremos hablar de diversos sujetos lógicos, en expresiones del tipo "Juan ama a María", convengamos también que la "o" será el nombre de una persona u objeto distinto dependiendo del color con que aparezca en la pantalla. Así, "Juan es un ser humano" pasaría a ser "(o)", pero "Pedro es un ser humano" se representaría como "(o)", y "Juan ama a María" como "()", donde "A" sería nuestra manera de representar el predicado "... ama ...". La cuasi-proposición, o sea el predicado en cuanto es atribuido a un individuo indefinido, se representará poniendo una "x" a la par de la letra-predicado, o sea, en el lugar del guión. Así, "x es ser un ser humano" se representaría como "()", donde el color podrá permitirnos indicar que la "x" de un color y la "x" de otro color no se refieren necesariamente al mismo individuo. Así, la fórmula "()" dejaría en libertad a quien la lee de completar mentalmente la cuasi-proposición para que quiera decir "Juan ama a María" o "Juan se ama a sí mismo"; pero en cambio, "()" nos obligaría a afirmar que, cualquiera que sea ese x, se amará a sí mismo. Estamos ahora listos para preguntarnos cómo representar las expresiones cuantificadas, v.g., "todo es bueno" o "algo es bueno" o "todo ser humano tiene algún otro ser humano que lo ama", proposición que, además de tener una representación difícil, lamentablemente tal vez no siempre haya sido verdadera. Para poder hacer representaciones como estas, sin embargo, necesitamos todavía alguna elaboración preparatoria.

63. Conectivas y cuantificadores

Como hemos visto, podemos distinguir en el análisis lógico entre los elementos del universo y sus predicados o atributos. Los elementos son llamados también individuos, o seres, o cosas, y son los que pueden actuar como sujetos lógicos en las proposiciones, representados por sus nombres propios. Así, un individuo será Juan, o Cartago, o esta mesa, aquel libro, o el planeta Marte (pero ¡ojo! "planeta" es un predicado de Marte). Los predicados son, por su parte, las propiedades de los individuos, las cuales pueden ser afirmadas de ellos mediante proposiciones. En cada una de estas proposiciones diremos que tal o cual predicado se predica o no de la cosa en cuestión, es verdadero o no de ella.

Imaginemos ahora que conocemos el número de individuos del universo; y que es, digamos, exactamente tres individuos. Llamemos a esos individuos o, o, y o. En un universo así de pequeño, una proposición universal, por ejemplo "de todo x se dice que x es bueno", se debe entender como la atribución conjunta del predicado a cada uno de los individuos del universo. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición de carácter conjuntivo: " y y ". De modo semejante, la proposición existencial, por ejemplo "existe al menos un x tal que x es bueno", debe entenderse como la atribución alternativa del predicado a cada uno de los diversos individuos. Nuestro ejemplo será equivalente a la siguiente proposición disyuntiva: " o bien o bien ". De manera general y para un universo de n individuos, la proposición universal será equivalente a la conjunción " y ... y ()", y la proposición existencial equivalente a la disyunción " o bien ... o bien ()". Así pues, conociendo el número de individuos de nuestro universo, será siempre posible expresar las proposiciones generales mediante conjunciones o disyunciones. En la práctica, sin embargo, por no conocer ese número o por ser éste muy grande, no podremos prescindir de cuantificadores y expresiones cuantificadas. La reducción de las expresiones cuantificadas a expresiones con conectivas tiene pues solamente un valor teórico.

64. Verdad y falsedad de proposiciones generales

La proposición universal, por ser reducible a proposiciones conjuntivas, será falsa si y solo si un individuo del universo por lo menos no acepta el predicado, es decir, si una por lo menos de las proposiciones singulares –a que en teoría puede reducirse– es falsa; de lo contrario será verdadera. La proposición existencial, por ser reducible a una proposición disyuntiva, será verdadera si y solo si un individuo del universo por lo menos acepta el predicado, es decir si una por lo menos de las proposiciones singulares –a que en teoría puede reducirse– es verdadera; de lo contrario, será falsa ⁽³⁾.

Si artificialmente reducimos el universo, por ejemplo, a los miembros de la Asamblea Legislativa de la República de Costa Rica, podremos afirmar diversas cosas sobre los elementos de ese universo, que sabemos que son 57. Podremos decir: "de todo x se dice que x fue elegido por el pueblo", "existe al menos un x tal que cumple con su deber", etc, proposiciones muy diversas que serán unas verdaderas y otras falsas. Todas ellas pueden convertirse en conjunciones o disyunciones, compuestas cada una de 57 proposiciones singulares. Estas conjunciones o disyunciones, y paralelamente las cuantificaciones universales o existenciales correspondientes, serán verdaderas o falsas según estén distribuidos los valores de verdad y falsedad entre las proposiciones singulares que les sirven de fundamento. Un ejemplo más sencillo: si nuestro universo está formado por las personas de la Santísima Trinidad de las confesiones cristianas, "de todo x se dice que es Dios" se traduce por "". Esto es verdadero si consideramos verdadero a "", a "", y también a "". Sería falso si consideráramos falso a "", "el Espíritu Santo es Dios", como lo predicaba una de las primeras herejías cristianas. "Existe al menos un x tal que se hizo hombre" se traduce como "", que resulta verdadera si una de las proposiciones singulares, por ejemplo "", es verdadera, pero sería falso si todas las proposiciones singulares fueran falsas.

Hay pues una relación muy estrecha entre la frase "de todo x se dice que", que llamamos cuantificador universal, y la conectiva de conjunción. Esa relación consiste en que ambas expresan la idea de verdad fuerte de las proposiciones atómicas o de la cuasi-proposición. Igualmente, hay una relación muy estrecha entre la frase "existe al menos un x tal que", que vamos a llamara cuantificador existencial, y la conectiva de disyunción. Esa relación consiste en que ambas expresan la idea de verdad débil de las proposiciones atómicas o de la cuasi-proposición. Esta relación tan estrecha nos orientará a la hora de decidir de una manera general, cualquiera que sea el número de individuos del universo, cómo vamos a representar gráficamente las proposiciones universales y existenciales. Pero eso es materia para el próximo capítulo.